在数学领域中，线性微分方程是研究动态系统的重要工具。当处理这类问题时，常常会遇到常系数线性非齐次方程组，这类方程组的一般形式可以表示为：

\[ \mathbf{A} \frac{d\mathbf{x}}{dt} + \mathbf{B}\mathbf{x} = \mathbf{f}(t) \]

其中，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是常数矩阵，$\mathbf{x}$ 是未知向量函数，而 $\mathbf{f}(t)$ 是已知的非齐次项。

为了找到这样的方程组的特解，我们可以采用一种有效的方法——待定系数法。这种方法的核心思想是假设特解的形式，并通过代入原方程来确定未知系数。

方法步骤

第一步：分析非齐次项 $\mathbf{f}(t)$ 的结构

首先需要仔细观察非齐次项 $\mathbf{f}(t)$ 的具体形式。常见的形式包括多项式、指数函数、正弦或余弦函数及其组合等。根据 $\mathbf{f}(t)$ 的结构，合理地猜测特解的形式。

第二步：构建特解假设

基于第一步对 $\mathbf{f}(t)$ 的分析结果，构造一个与之相对应的特解表达式。例如：

- 如果 $\mathbf{f}(t)$ 是多项式，则假设特解也为多项式。

- 若包含指数函数 $e^{\lambda t}$，则假设特解具有相同形式。

- 对于三角函数 $\sin(\omega t), \cos(\omega t)$，同样假设特解为相应的线性组合。

需要注意的是，在某些情况下可能需要加入额外的因子（如 $t^n$），以避免与齐次解产生重叠。

第三步：代入验证并求解系数

将第二步得到的特解假设代入原方程后，整理得到关于待定系数的代数方程组。通过解此方程组即可获得所需的系数值。

第四步：总结结果

最后，将所有计算好的系数代入到特解假设中，从而得出完整的特解表达式。

应用实例

考虑以下具体的例子：

\[ \frac{dx}{dt} - 2x = e^{3t}, \quad x(0) = 1 \]

这里，非齐次项为 $e^{3t}$，因此我们假设特解为 $Ce^{3t}$。将其代入原方程后可得：

\[ C(3 - 2)e^{3t} = e^{3t} \]

从中解得 $C=1$。因此，特解为 $x_p(t) = e^{3t}$。

结合初始条件进一步确定通解中的任意常数部分即可完成整个求解过程。

结论

待定系数法是一种简单实用且广泛应用于求解常系数线性非齐次方程组特解的技术手段。它不仅操作性强，而且能够快速有效地解决问题。掌握这一方法对于深入学习高等数学以及相关应用学科都具有重要意义。