在统计学和机器学习领域中，线性回归是一种广泛使用的预测模型，它通过拟合一条直线来描述自变量与因变量之间的关系。本文将详细推导并证明线性回归方程的基本公式。

假设我们有一组数据点 (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xn, yn)，其中 xi 是自变量，yi 是对应的因变量。我们的目标是找到一个最佳的线性函数 y = β₀ + β₁x，使得这条直线能够最好地拟合这些数据点。

首先，我们需要定义“最佳拟合”的标准。通常使用最小二乘法作为评判标准，即选择使所有数据点到直线的垂直距离平方和最小的参数 β₀ 和 β₁。

设残差 ei 为实际值 yi 与预测值 ŷi 的差值，即：

\[ e_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i) \]

为了找到最优解，我们需要最小化残差平方和 S：

\[ S = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2 \]

接下来，对 S 分别关于 β₀ 和 β₁ 求偏导数，并令其等于零以获得极值点：

1. 对 β₀ 求偏导：

\[ \frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i) = 0 \]

化简得到：

\[ n\beta_0 + \beta_1 \sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} y_i \]

2. 对 β₁ 求偏导：

\[ \frac{\partial S}{\partial \beta_1} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)x_i = 0 \]

化简得到：

\[ \beta_0 \sum_{i=1}^{n} x_i + \beta_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i x_i \]

联立以上两个方程组，可以解出 β₀ 和 β₁ 的表达式：

\[ \beta_1 = \frac{n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{i=1}^{n} y_i}{n \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{n} x_i)^2} \]

\[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \]

其中，\( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \) 和 \( \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \) 分别表示样本均值。

通过上述推导过程，我们得到了线性回归方程的系数计算公式。这一方法不仅理论严谨，而且具有较强的实用价值，在数据分析和预测建模中扮演着重要角色。