在信号处理和数学领域中，傅里叶变换是一种将时间域信号转换到频率域的方法，它帮助我们分析信号的频谱特性。下面是一些常用的傅里叶变换对，这些变换在工程、物理和通信等领域有着广泛的应用。

1. 常数函数

- 时域函数：f(t) = 1

- 频域函数：F(ω) = δ(ω)

这里δ(ω)表示狄拉克δ函数。

2. 单位阶跃函数

- 时域函数：u(t)

- 频域函数：U(ω) = πδ(ω) + 1/jω

单位阶跃函数的频域表达式包含了直流分量πδ(ω)以及一个与频率成反比的项。

3. 指数衰减函数

- 时域函数：f(t) = e^(-at)u(t)，其中a > 0

- 频域函数：F(ω) = 1/(a + jω)

这个结果表明指数衰减函数的频谱是一个复数形式，其幅度随频率变化而变化。

4. 正弦波函数

- 时域函数：f(t) = sin(ω₀t)

- 频域函数：F(ω) = [πj{δ(ω - ω₀) - δ(ω + ω₀)}]/2

正弦波在频域上表现为两个冲激函数，分别位于±ω₀处。

5. 余弦波函数

- 时域函数：f(t) = cos(ω₀t)

- 频域函数：F(ω) = π[δ(ω - ω₀) + δ(ω + ω₀)]

余弦波同样在频域上表现为两个冲激函数，但没有虚部。

6. 高斯函数

- 时域函数：f(t) = e^(-(t²)/2σ²)

- 频域函数：F(ω) = √(2π)σe^(-(ω²)σ²/2)

高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是变量从时间t变成了频率ω。

以上就是一些常见的傅里叶变换对。掌握这些基本的变换关系有助于更好地理解和应用傅里叶变换理论于实际问题中。希望这份精选表格能对你有所帮助！