在高中数学的学习过程中，导数与微积分是两个非常重要的概念。它们不仅是解决实际问题的强大工具，同时也是进一步学习高等数学的基础。为了帮助同学们更好地掌握这些知识，以下是一些精选的练习题，涵盖了导数的基本定义、计算方法以及微积分的应用。

练习题一：导数的基本定义

已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求其在点 \( x = 1 \) 处的导数值。

解法提示：

利用导数的定义公式：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

代入具体数值进行计算即可。

练习题二：导数的运算规则

设函数 \( g(x) = (2x^2 + 3)(4x - 5) \)，求 \( g'(x) \)。

解法提示：

使用乘积法则：若 \( u(x)v(x) \) 是两函数的乘积，则其导数为

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

练习题三：微积分的实际应用

一个物体沿直线运动，其位置随时间变化的关系为 \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2 \)（单位：米）。求该物体在第 2 秒末的速度和加速度。

解法提示：

速度为位置关于时间的一阶导数 \( v(t) = s'(t) \)，加速度为速度关于时间的一阶导数 \( a(t) = v'(t) = s''(t) \)。

练习题四：隐函数求导

方程 \( x^2 + y^2 = 25 \) 定义了一个隐函数 \( y = y(x) \)，求 \( y' \)。

解法提示：

对两边同时关于 \( x \) 求导，并注意 \( y \) 是 \( x \) 的函数，因此需要使用链式法则。

练习题五：定积分的应用

计算曲线 \( y = \sqrt{x} \) 从 \( x = 0 \) 到 \( x = 4 \) 所围成的面积。

解法提示：

利用定积分公式 \( A = \int_a^b f(x) dx \)，代入函数表达式并计算积分值。

通过以上练习题，希望同学们能够加深对导数和微积分的理解，并熟练掌握相关的计算技巧。在解答这些问题时，请务必仔细审题，合理运用所学知识，逐步提高自己的解题能力。