例6（计算二重积分）
在数学分析中，计算二重积分是一项重要的技能。它广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域。本文将以一个具体的例子来说明如何计算二重积分。
假设我们需要计算如下二重积分：
\[ \iint_R (x^2 + y^2) \, dA \]
其中积分区域 \( R \) 是由 \( x=0 \), \( x=1 \), \( y=0 \), 和 \( y=1 \) 围成的矩形区域。
解题步骤
1. 确定积分范围
根据题目给出的条件，积分区域 \( R \) 是一个单位正方形，即 \( 0 \leq x \leq 1 \) 和 \( 0 \leq y \leq 1 \)。
2. 设置积分表达式
将二重积分拆分为两次单积分：
\[
\iint_R (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dx \, dy
\]
3. 分步计算
首先对 \( x \) 积分，视 \( y \) 为常数：
\[
\int_0^1 (x^2 + y^2) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_0^1 y^2 \, dx
\]
第一项：
\[
\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
\]
第二项：
\[
\int_0^1 y^2 \, dx = y^2 \int_0^1 1 \, dx = y^2 \cdot [x]_0^1 = y^2
\]
合并结果：
\[
\int_0^1 (x^2 + y^2) \, dx = \frac{1}{3} + y^2
\]
4. 继续对 \( y \) 积分
现在对 \( y \) 进行积分：
\[
\int_0^1 \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) \, dy = \int_0^1 \frac{1}{3} \, dy + \int_0^1 y^2 \, dy
\]
第一项：
\[
\int_0^1 \frac{1}{3} \, dy = \frac{1}{3} \cdot [y]_0^1 = \frac{1}{3}
\]
第二项：
\[
\int_0^1 y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
\]
合并结果：
\[
\int_0^1 \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) \, dy = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
最终答案
因此，该二重积分的结果为：
\[
\boxed{\frac{2}{3}}
\]
通过以上步骤，我们成功计算了给定的二重积分。这种分步计算的方法适用于大多数简单的二重积分问题。