在高中数学的学习过程中，空间向量与立体几何是两个重要的知识点，它们不仅帮助我们理解三维空间中的几何关系，还为解决实际问题提供了强有力的工具。为了更好地掌握这些知识，下面将通过一系列练习题来巩固相关概念，并附上详细的解答过程。
一、基础知识回顾
1. 空间向量的基本运算：
- 加法：$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$
- 减法：$\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)$
- 数乘：$k\cdot\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$
- 点积：$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
2. 立体几何中的重要定理：
- 平面方程：$Ax+By+Cz+D=0$
- 直线方程：$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ 或 $\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{v}$
二、练习题
题目1
已知空间中两点 $A(1,2,3)$ 和 $B(4,5,6)$，求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长。
解：
$$
\overrightarrow{AB} = B-A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
$$
模长为：
$$
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2+3^2+3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
$$
题目2
设平面方程为 $2x-y+z-5=0$，判断点 $P(1,1,1)$ 是否位于该平面上。
解：
将点 $P$ 的坐标代入平面方程：
$$
2(1)-1+1-5 = 2-1+1-5 = -3 \neq 0
$$
因此，点 $P$ 不在平面上。
题目3
已知直线方程为 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$，求该直线的方向向量。
解：
由直线方程可知，方向向量为 $(2, 3, 4)$。
三、综合应用
题目4
给定平面 $\pi: x+y+z-1=0$ 和直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$，求它们之间的夹角。
解：
平面的法向量为 $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$，直线的方向向量为 $\vec{d}_L = (1, 2, 3)$。两者的夹角满足：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{n}_\pi \cdot \vec{d}_L}{|\vec{n}_\pi||\vec{d}_L|}
$$
计算得：
$$
\vec{n}_\pi \cdot \vec{d}_L = 1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3 = 6
$$
$$
|\vec{n}_\pi| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}, \quad |\vec{d}_L| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}
$$
$$
\cos\theta = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{42}}
$$
最终夹角为：
$$
\theta = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{42}}\right)
$$
以上题目涵盖了空间向量与立体几何的基础知识及其应用，希望同学们能够通过练习加深对这些概念的理解。如果还有其他疑问，欢迎随时交流探讨！
