在数学领域，尤其是在处理一元高次不等式时，“穿根法”是一种非常实用且高效的解题工具。这种方法通过直观的方式帮助我们快速找到不等式的解集范围，避免了复杂的代数运算。本文将从理论基础到实际应用，全面剖析穿根法的精髓，并结合具体实例进行详细讲解。

什么是穿根法？

穿根法的核心思想是利用函数图像与x轴交点（即零点）来判断不等式的符号变化情况。对于形如\(f(x) > 0\)或\(f(x) < 0\)的一元高次不等式，我们首先求出方程\(f(x) = 0\)的所有实数根，然后根据这些根将整个定义域划分成若干个区间。接着，在每个区间内选取一个测试点，观察函数值的正负性，从而确定该区间的解集。

穿根法的基本步骤

1. 确定零点：求解方程\(f(x) = 0\)，得到所有实数解。

2. 标记零点：在数轴上标出上述零点的位置，并按照从小到大的顺序排列。

3. 划分区间：根据零点将数轴分为多个连续的区间。

4. 选择测试点：在每一个区间中挑选一个代表性的测试点。

5. 判断符号：计算测试点处函数值的正负，记录下各区间内的符号变化规律。

6. 得出结论：结合题目要求（大于零还是小于零），确定最终的解集。

实战案例分析

假设我们要解决不等式\( (x-1)(x+2)^2(x-3) \geqslant 0 \)。

- 第一步：确定零点

方程\( (x-1)(x+2)^2(x-3) = 0 \)的解为\( x=1, x=-2 \)，其中\( x=-2 \)是一个重根。

- 第二步：标记零点

在数轴上标记零点\( -2 \)和\( 1 \)，注意重根的影响会导致曲线接触但不穿过x轴。

- 第三步：划分区间

数轴被划分为三个部分：\( (-\infty,-2), (-2,1), [1,+\infty) \)。

- 第四步：选择测试点

分别取\( x=-3, x=0, x=2 \)作为各区间内的测试点。

- 第五步：判断符号

计算得\( f(-3) > 0, f(0) < 0, f(2) > 0 \)，由此可知符号的变化规律。

- 第六步：得出结论

结合题目条件，最终解集为\( [-2,1] \cup [3,+\infty) \)。

注意事项

使用穿根法时需特别留意以下几点：

- 对于重根，其对应的区间符号变化不会改变方向。

- 若存在分母，则需额外检查使分母为零的点是否属于解集范围。

- 多项式分解应尽可能简化，以便更准确地定位零点位置。

总之，掌握好穿根法不仅能够提高解题效率，还能加深对函数性质的理解。希望本文提供的方法能为广大读者提供切实的帮助！