在数学学习中,二次函数是一个非常重要的知识点,它不仅贯穿了初中和高中的数学课程,而且在实际生活中也有广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容,我们特意准备了一套练习题,并附上了详细的答案解析,希望能为大家的学习提供一些帮助。
一、选择题
1. 已知二次函数y = ax² + bx + c的图像经过点(1, 0),(2, -3)和(3, 0)。求a、b、c的值。
解析:
根据题目条件,我们可以列出三个方程:
- 当x=1时,y=0 → a(1)² + b(1) + c = 0
- 当x=2时,y=-3 → a(2)² + b(2) + c = -3
- 当x=3时,y=0 → a(3)² + b(3) + c = 0
通过解这个三元一次方程组,可以得到a、b、c的具体数值。
2. 若二次函数y = x² - 4x + k的图像与x轴只有一个交点,则k的值是多少?
解析:
当二次函数的图像与x轴只有一个交点时,意味着该抛物线的顶点恰好位于x轴上。因此,判别式Δ = b² - 4ac = 0。代入已知条件计算即可得出k的值。
二、填空题
1. 抛物线y = -2x² + 8x - 6的顶点坐标为________。
解析:
利用顶点公式(-b/2a, f(-b/2a))可以直接求得顶点坐标。
2. 若二次函数y = ax² + bx + c的图像开口向下且对称轴为x=1,则a的取值范围是________。
解析:
由于抛物线开口向下,所以a<0;又因为对称轴为x=1,说明-b/(2a)=1,进一步确定a的范围。
三、解答题
1. 某商品的成本价为每件50元,售价为每件80元,每月销售量为100件。若售价每降低1元,则销量增加5件。试建立利润P关于售价x的函数关系式,并求出最大利润及相应的售价。
解析:
设售价为x元,则单件利润为(x-50),销量为100+5(80-x)。由此可得总利润P=(x-50)[100+5(80-x)],通过配方或求导法找到P的最大值及其对应的x值。
2. 已知抛物线y = x² - 6x + 9与直线y = kx+b相切,求k和b的值。
解析:
抛物线与直线相切意味着二者只有一个公共点,即联立方程后所得的一元二次方程有唯一解。利用判别式等于零的条件来求解k和b。
以上就是本次提供的二次函数练习题及其详细解析。希望大家能够认真思考并尝试解答这些问题,在实践中加深对二次函数的理解。如果还有其他疑问,欢迎随时交流讨论!