【高一数学-集合与不等式练习题】在高中数学的学习过程中，集合与不等式是基础而重要的内容，它们不仅为后续函数、数列等知识打下坚实的基础，同时也是各类考试中常见的考点。为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面将围绕“集合”和“不等式”两个知识点，整理一些典型的练习题，并附上解析，便于理解和巩固。
一、集合部分
1. 基本概念回顾：
- 集合：由某些确定的、不同的对象组成的整体。
- 元素：组成集合的每一个对象称为元素。
- 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
- 集合之间的关系：子集、真子集、交集、并集、补集等。
2. 练习题：
题目1：
已知集合 $ A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\} $，求集合 $ A $ 的所有子集。
解析：
先解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，得 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $，因此集合 $ A = \{2, 3\} $。
一个含有 $ n $ 个元素的集合，其子集的个数为 $ 2^n $，所以该集合有 $ 2^2 = 4 $ 个子集，分别为：
$ \emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\} $。
题目2：
设全集 $ U = \{1, 2, 3, 4, 5\} $，集合 $ A = \{1, 2\} $，集合 $ B = \{2, 3, 4\} $，求 $ (A \cup B)^c $。
解析：
首先计算 $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} $，
则其补集 $ (A \cup B)^c = U \setminus (A \cup B) = \{5\} $。
二、不等式部分
1. 基本概念回顾：
- 不等式：表示两个数或代数式之间大小关系的式子。
- 一元一次不等式：形如 $ ax + b > 0 $（或 <, ≥, ≤）的不等式。
- 一元二次不等式：形如 $ ax^2 + bx + c > 0 $（或 <, ≥, ≤）的不等式。
- 解不等式的方法：数轴法、图像法、因式分解、判别式法等。
2. 练习题：
题目3：
解不等式 $ 2x - 3 < 5 $。
解析：
移项得 $ 2x < 8 $，
两边同时除以 2 得 $ x < 4 $，
所以解集为 $ (-\infty, 4) $。
题目4：
解不等式 $ x^2 - 4x + 3 \leq 0 $。
解析：
先对左边进行因式分解：
$ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $。
不等式变为 $ (x - 1)(x - 3) \leq 0 $。
利用数轴法分析，当 $ x \in [1, 3] $ 时，乘积小于等于 0，
因此解集为 $ [1, 3] $。
三、综合应用题
题目5：
已知集合 $ A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0\} $，集合 $ B = \{x \mid 2x - 1 > 3\} $，求 $ A \cap B $。
解析：
先分别求出集合 $ A $ 和 $ B $：
- 对于 $ A $：
解不等式 $ x^2 - 4x + 3 \leq 0 $，得 $ x \in [1, 3] $。
- 对于 $ B $：
解不等式 $ 2x - 1 > 3 $，得 $ x > 2 $。
因此，$ A \cap B = [1, 3] \cap (2, +\infty) = (2, 3] $。
四、总结
通过上述练习题可以看出，集合与不等式虽然看似简单，但需要扎实的基础和严谨的逻辑思维。建议同学们在学习过程中注重理解基本概念，熟练掌握解题方法，并多做练习题加以巩固。
如果你希望进一步提高，可以尝试做一些拓展题或结合函数、方程等内容进行综合训练，从而提升整体数学素养。
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