【两条线段相互垂直公式】在几何学中，判断两条线段是否相互垂直是一个常见的问题。尤其是在坐标系中，通过数学公式可以快速判断两线段的夹角是否为90度。本文将总结判断两条线段是否垂直的常用方法，并以表格形式展示相关公式。
一、基本概念
线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。若两条线段所在的直线互相垂直，则称这两条线段相互垂直。判断线段是否垂直的关键在于它们的方向向量或斜率之间的关系。
二、判断方法总结
方法1：方向向量点积为零
设线段AB和线段CD的方向向量分别为$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ 和 $\vec{CD} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3)$，则当且仅当：
$$
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0
$$
即：
$$
(x_2 - x_1)(x_4 - x_3) + (y_2 - y_1)(y_4 - y_3) = 0
$$
时，两条线段垂直。
方法2：斜率乘积为-1（适用于非垂直于坐标轴的线段）
若线段AB的斜率为$k_1$，线段CD的斜率为$k_2$，则当且仅当：
$$
k_1 \cdot k_2 = -1
$$
时，两条线段垂直。
> 注意：此方法不适用于与坐标轴垂直的线段（如竖直或水平线），因为此时斜率不存在或为0，无法计算乘积。
三、公式对比表
| 判断方式 | 公式表达 | 适用条件 | 优点 | 缺点 |
| 方向向量点积 | $(x_2 - x_1)(x_4 - x_3) + (y_2 - y_1)(y_4 - y_3) = 0$ | 所有情况 | 通用性强，无需考虑斜率 | 计算稍复杂 |
| 斜率乘积 | $k_1 \cdot k_2 = -1$ | 非垂直于坐标轴的线段 | 简单直观 | 不适用于竖直或水平线段 |
四、应用示例
例1：方向向量法
已知线段AB的端点A(1,2)，B(3,5)，线段CD的端点C(0,1)，D(2,3)
- $\vec{AB} = (3-1, 5-2) = (2,3)$
- $\vec{CD} = (2-0, 3-1) = (2,2)$
- 点积：$2×2 + 3×2 = 4 + 6 = 10 ≠ 0$ → 不垂直
例2：斜率法
线段AB的斜率 $k_1 = \frac{5-2}{3-1} = \frac{3}{2}$
线段CD的斜率 $k_2 = \frac{3-1}{2-0} = 1$
乘积：$\frac{3}{2} × 1 = \frac{3}{2} ≠ -1$ → 不垂直
五、总结
判断两条线段是否垂直，最可靠的方法是使用方向向量的点积法，该方法适用于所有情况，而斜率法虽然简单，但存在局限性。在实际应用中，建议优先采用方向向量点积法进行判断，以确保准确性。
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