【数学期望的计算公式】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势。它反映了随机变量在长期运行中的“平均结果”，是进行风险评估、决策分析等的重要工具。
数学期望的计算方法根据随机变量的类型（离散型或连续型）有所不同。以下是对数学期望计算公式的总结，并通过表格形式清晰展示。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 表示，表示一个随机变量 $ X $ 在所有可能取值上按照其发生概率加权后的平均值。
二、数学期望的计算公式
1. 离散型随机变量的数学期望
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望的计算公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
其中，$ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 $
2. 连续型随机变量的数学期望
对于一个连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望的计算公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望公式
以下是几种常见的概率分布及其对应的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、总结
数学期望是衡量随机变量中心位置的重要指标，适用于各种实际问题的建模与分析。无论是离散型还是连续型随机变量，都可以通过相应的公式进行计算。掌握这些公式有助于更好地理解随机现象的规律性，并为后续的概率分析和统计推断打下基础。
通过表格的形式，可以更直观地比较不同分布的期望值，便于记忆和应用。在实际问题中，合理选择分布模型并准确计算期望值，是提高预测精度和决策科学性的关键一步。
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