【江苏高考数学复习平面解析几何第49课双曲线教师用书】在高中数学的平面解析几何部分，双曲线是一个重要的知识点，尤其在江苏省高考中占有一定比重。本节课围绕双曲线的定义、标准方程、几何性质以及相关应用展开，旨在帮助学生系统掌握这一内容，并提升解题能力。
一、知识要点总结
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数（小于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做双曲线。
- 焦点：F₁、F₂
- 常数：2a（0 < 2a <
2. 双曲线的标准方程
- 横轴方向（焦点在x轴上）：
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
- 纵轴方向（焦点在y轴上）：
$$
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
$$
3. 双曲线的几何性质
- 实轴长：2a
- 虚轴长：2b
- 焦距：2c，其中 $ c^2 = a^2 + b^2 $
- 渐近线方程：
- 横轴方向：$ y = \pm \frac{b}{a}x $
- 纵轴方向：$ y = \pm \frac{a}{b}x $
4. 离心率
$$
e = \frac{c}{a} > 1
$$
5. 焦点坐标
- 横轴方向：(±c, 0)
- 纵轴方向：(0, ±c)
6. 对称性
双曲线关于x轴、y轴及原点对称。
7. 实际应用
在天体运动、光学反射、工程设计等领域有广泛应用。
二、典型例题与解答（表格形式）
| 题号 | 题目描述 | 解题思路 | 答案 |
| 1 | 已知双曲线 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$，求其焦点坐标 | 根据标准方程判断横轴方向，计算 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $ | (±5, 0) |
| 2 | 已知双曲线中心在原点，焦点在y轴上，实轴长为8，虚轴长为6，求其标准方程 | 判断纵轴方向，代入 $ a = 4 $, $ b = 3 $ | $\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1$ |
| 3 | 若双曲线 $\frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{n} = 1$ 的渐近线为 $ y = \pm \frac{1}{2}x $，求 $ m/n $ 的值 | 渐近线斜率为 $ \pm \frac{b}{a} $，即 $ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} = \frac{1}{2} $ | $ \frac{m}{n} = 4 $ |
| 4 | 已知双曲线的一个焦点为 (5, 0)，且离心率为 $ \frac{5}{4} $，求其标准方程 | 由 $ c = 5 $, $ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} $，得 $ a = 4 $，再求 $ b $ | $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ |
三、教学建议
1. 注重基础概念的理解：引导学生从几何图形出发，理解双曲线的定义和性质。
2. 强化标准方程的识别：通过对比不同形式的双曲线方程，提高学生的识别能力。
3. 加强解题训练：结合历年高考真题，让学生熟练掌握常见题型的解法。
4. 鼓励学生动手画图：通过作图辅助理解双曲线的形状、渐近线、焦点等关键特征。
5. 拓展思维：结合实际问题，如抛物线与双曲线的交点、光学性质等，提升综合运用能力。
通过本课的学习，学生应能够准确掌握双曲线的基本概念、标准方程及其几何性质，并能灵活应用于各类题目中，为高考打下坚实的基础。
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