【向量坐标公式推导】在解析几何中，向量的坐标表示是研究空间几何关系的重要工具。通过坐标系，我们可以将抽象的向量转化为具体的数值形式，从而进行运算和分析。本文将对向量坐标的定义及其相关公式的推导过程进行总结，并以表格形式清晰展示关键内容。

一、向量的基本概念

向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。在平面直角坐标系中，一个向量可以由其起点和终点的坐标来确定。设点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，则向量 $ \vec{AB} $ 的坐标表示为：

$$

\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

$$

这个公式是向量坐标的基础，用于计算两点之间的向量。

二、向量坐标公式的推导过程

1. 向量加法

若向量 $ \vec{a} = (a_x, a_y) $，向量 $ \vec{b} = (b_x, b_y) $，则它们的和为：

$$

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)

$$

推导思路：

将两个向量平移至同一起点，根据平行四边形法则或三角形法则，得到新向量的坐标为各分量相加。

2. 向量减法

$$

\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y)

$$

推导思路：

向量减法可以看作加上负向量，即 $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $，其中 $ -\vec{b} = (-b_x, -b_y) $。

3. 向量数乘

$$

k\vec{a} = (ka_x, ka_y)

$$

推导思路：

数乘表示向量长度按比例缩放，方向保持不变（若 $ k > 0 $）或相反（若 $ k < 0 $）。

4. 向量模长（长度）

$$

$$

推导思路：

根据勾股定理，向量的模长等于其在坐标轴上的投影的平方和的平方根。

5. 向量点积（内积）

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y

$$

推导思路：

点积的代数形式为各分量对应相乘再求和，也可以通过夹角公式 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}\cos\theta $ 推导。

三、总结与表格

四、结语

向量坐标公式是连接几何图形与代数运算的桥梁。通过对这些公式的理解与掌握，能够更高效地处理二维和三维空间中的向量问题。无论是物理中的力分析，还是计算机图形学中的变换计算，向量坐标都是不可或缺的基础知识。

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