【设n阶方阵a满足a2+a】在矩阵理论中，对于一个n阶方阵A，若其满足特定的代数条件，如A² + A = 0，可以从中推导出许多重要的性质。本文将对这一条件进行总结，并以表格形式展示关键结论。
一、问题背景
给定一个n阶方阵A，满足：
$$
A^2 + A = 0
$$
即：
$$
A(A + I) = 0
$$
其中I为单位矩阵。这意味着矩阵A与矩阵（A + I）相乘的结果为零矩阵。
二、核心性质总结
| 序号 | 性质描述 | 说明 |
| 1 | A是幂等矩阵的变体 | 虽然A不是幂等矩阵（即A² ≠ A），但A² = -A，属于一种特殊的线性关系 |
| 2 | A的特征值只能是0或-1 | 由A² + A = 0可得：A² = -A ⇒ A(A + I) = 0 ⇒ 特征值λ满足λ² + λ = 0 ⇒ λ(λ + 1) = 0 ⇒ λ = 0 或 λ = -1 |
| 3 | A的迹（tr(A)）为0或负整数 | 迹为所有特征值之和，而特征值只有0或-1，因此迹为-1乘以对应特征值个数 |
| 4 | A的行列式为0 | 因为A有0作为特征值（至少有一个特征值为0），所以det(A) = 0 |
| 5 | A可对角化 | 如果A的最小多项式没有重根，则A可对角化。由于A的最小多项式为x(x + 1)，无重根，故A可对角化 |
| 6 | A的秩等于其非零特征值的个数 | 即秩为-1对应的特征值个数，因为0对应的特征值不贡献秩 |
| 7 | A + I 是幂等矩阵 | 由A² + A = 0 ⇒ A² = -A ⇒ (A + I)^2 = A² + 2A + I = -A + 2A + I = A + I ⇒ (A + I)^2 = A + I |
三、举例说明
假设A是一个2×2矩阵，且满足A² + A = 0。我们可以构造一个具体的例子：
$$
A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
$$
验证：
$$
A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^2 + A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
符合A² + A = 0的条件。
四、总结
当n阶方阵A满足A² + A = 0时，该矩阵具有以下重要性质：
- 其特征值只能是0或-1；
- 矩阵A不可逆（行列式为0）；
- 可对角化；
- 秩由非零特征值决定；
- A + I是一个幂等矩阵。
这些性质在矩阵分析、线性代数以及相关应用中具有重要意义。理解这类矩阵的结构有助于更深入地掌握矩阵运算和变换的本质。
