【6大分布的期望与方差】在概率论与数理统计中，常见的概率分布有多种类型，每种分布都有其对应的数学期望和方差。这些参数能够帮助我们更好地理解随机变量的行为特征，是统计分析中的重要工具。以下是六种常见分布的期望与方差总结。
一、二项分布（Binomial Distribution）
- 定义：在n次独立的伯努利试验中，成功次数X服从二项分布，记为X ~ B(n, p)。
- 期望：E(X) = np
- 方差：Var(X) = np(1 - p)
二、泊松分布（Poisson Distribution）
- 定义：描述单位时间内事件发生次数的概率分布，记为X ~ P(λ)。
- 期望：E(X) = λ
- 方差：Var(X) = λ
三、正态分布（Normal Distribution）
- 定义：连续型分布，广泛用于自然和社会科学中，记为X ~ N(μ, σ²)。
- 期望：E(X) = μ
- 方差：Var(X) = σ²
四、均匀分布（Uniform Distribution）
- 定义：在区间[a, b]上取值的概率分布，记为X ~ U(a, b)。
- 期望：E(X) = (a + b)/2
- 方差：Var(X) = (b - a)² / 12
五、指数分布（Exponential Distribution）
- 定义：描述事件发生时间间隔的连续型分布，记为X ~ Exp(λ)。
- 期望：E(X) = 1/λ
- 方差：Var(X) = 1/λ²
六、几何分布（Geometric Distribution）
- 定义：表示首次成功发生在第k次试验的概率分布，记为X ~ Ge(p)。
- 期望：E(X) = 1/p
- 方差：Var(X) = (1 - p)/p²
总结表格：
| 分布名称 | 参数 | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 二项分布 | n, p | np | np(1 - p) |
| 泊松分布 | λ | λ | λ |
| 正态分布 | μ, σ² | μ | σ² |
| 均匀分布 | a, b | (a + b)/2 | (b - a)²/12 |
| 指数分布 | λ | 1/λ | 1/λ² |
| 几何分布 | p | 1/p | (1 - p)/p² |
以上内容是对六种常见概率分布的期望与方差进行的系统性总结，适用于学习、复习或快速查阅。掌握这些基本参数有助于进一步理解和应用概率模型。
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