【z变换定义公式】在数字信号处理中，z变换是一种非常重要的数学工具，用于分析离散时间系统。它能够将时域中的离散信号转换到复频域（z域），从而便于对系统的稳定性、频率响应等特性进行分析。z变换的定义是理解其应用的基础。
一、z变换的基本定义
对于一个离散时间信号 $ x[n] $，其z变换定义为：
$$
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
$$
其中，$ z $ 是一个复数变量，通常表示为 $ z = re^{j\omega} $，其中 $ r $ 是模值，$ \omega $ 是角频率。
这个公式适用于所有满足绝对可和条件的信号，即：
$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
$$
对于因果信号（即 $ n < 0 $ 时 $ x[n] = 0 $），z变换可以简化为：
$$
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
$$
二、z变换的类型
根据信号的性质，z变换可分为以下几种形式：
| 类型 | 定义 | 适用范围 |
| 双边z变换 | $ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} $ | 适用于非因果信号或任意信号 |
| 单边z变换 | $ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} $ | 适用于因果信号 |
| 有理函数形式 | $ X(z) = \frac{N(z)}{D(z)} $ | 适用于系统函数，便于分析极点和零点 |
三、z变换的收敛域（ROC）
z变换的收敛域是指使得级数收敛的所有 $ z $ 值的集合。不同的信号具有不同的ROC，且ROC对系统的稳定性和因果性有重要影响。
| 信号类型 | ROC | 稳定性 | 因果性 | ||||
| 因果信号 | $ | z | > R $ | 若 $ | z | =1 $ 在ROC内，则稳定 | 是 |
| 非因果信号 | $ | z | < R $ | 若 $ | z | =1 $ 在ROC内，则稳定 | 否 |
| 双边信号 | $ R_1 < | z | < R_2 $ | 若 $ | z | =1 $ 在ROC内，则稳定 | 不确定 |
四、常用信号的z变换表
以下是一些常见离散信号的z变换及其对应的收敛域：
| 信号 $ x[n] $ | z变换 $ X(z) $ | 收敛域（ROC） | ||||
| $ \delta[n] $ | $ 1 $ | 全平面 | ||||
| $ u[n] $ | $ \frac{1}{1 - z^{-1}} $ | $ | z | > 1 $ | ||
| $ a^n u[n] $ | $ \frac{1}{1 - az^{-1}} $ | $ | z | > | a | $ |
| $ -a^n u[-n-1] $ | $ \frac{1}{1 - az^{-1}} $ | $ | z | < | a | $ |
| $ n a^n u[n] $ | $ \frac{az^{-1}}{(1 - az^{-1})^2} $ | $ | z | > | a | $ |
五、总结
z变换是分析离散时间系统的重要工具，通过将其转换到z域，可以更方便地研究系统的频率响应、稳定性及设计滤波器等。不同类型的信号有不同的z变换形式，而收敛域的选择则决定了系统是否稳定以及是否为因果系统。掌握z变换的定义及其相关性质，有助于深入理解数字信号处理的核心概念。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
