【等差等比数列基本公式】在数学中，等差数列和等比数列是两个非常重要的数列类型，它们在数列、函数、级数以及实际问题中都有广泛的应用。为了便于理解和记忆，以下是对等差数列与等比数列的基本公式的总结。
一、等差数列
定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列叫做等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
求和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和。
二、等比数列
定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列叫做等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时 $ S_n = n \cdot a_1 $。
三、等差数列与等比数列对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 | $ d $ | 无（用公比表示） |
| 公比 | 无 | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 若 $ d = 0 $，则为常数列 | 若 $ r = 1 $，则为常数列 |
四、总结
等差数列和等比数列虽然形式不同，但都是数列研究中的基础内容。掌握它们的通项公式和求和公式，有助于解决许多实际问题，如利息计算、增长率分析、几何图形面积计算等。通过表格对比，可以更清晰地理解两者的区别与联系，从而提高学习效率和应用能力。
