【二维标准正态分布概率密度公式】在概率论与统计学中，二维正态分布（也称为多元正态分布）是描述两个随机变量联合分布的一种重要模型。其中，二维标准正态分布是指两个变量均服从标准正态分布（均值为0，方差为1），且两者之间具有相关系数ρ的联合分布。
以下是对二维标准正态分布概率密度函数的总结，并以表格形式展示其关键参数和表达式。
一、基本概念
- 定义：二维标准正态分布是两个独立或相关的标准正态变量（X, Y）的联合分布。
- 变量特征：
- E[X] = 0
- E[Y] = 0
- Var(X) = 1
- Var(Y) = 1
- Cov(X, Y) = ρ（相关系数）
二、二维标准正态分布的概率密度函数
设随机变量 (X, Y) 服从二维标准正态分布，其概率密度函数为：
$$
f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left(-\frac{x^2 - 2\rho xy + y^2}{2(1 - \rho^2)}\right)
$$
其中：
- $ x $ 和 $ y $ 是变量的取值；
- $ \rho $ 是 X 和 Y 的相关系数，满足 $ -1 < \rho < 1 $。
三、关键参数总结表
| 参数名称 | 表达式/数值 | 说明 |
| 随机变量 | X, Y | 服从标准正态分布 |
| 均值 | μ_X = 0, μ_Y = 0 | 均值均为0 |
| 方差 | σ²_X = 1, σ²_Y = 1 | 方差均为1 |
| 协方差 | Cov(X, Y) = ρ | 相关系数ρ |
| 概率密度函数 | $ f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left(-\frac{x^2 - 2\rho xy + y^2}{2(1 - \rho^2)}\right) $ | 联合分布函数 |
| 支持域 | $ x \in (-\infty, +\infty), y \in (-\infty, +\infty) $ | 定义域为整个实数轴 |
四、补充说明
- 当 $ \rho = 0 $ 时，X 与 Y 独立，此时概率密度函数简化为两个标准正态分布的乘积。
- 当 $ \rho \neq 0 $ 时，X 与 Y 存在线性相关关系，图形呈现椭圆状分布。
- 该分布广泛应用于金融建模、信号处理、机器学习等领域。
通过以上内容可以看出，二维标准正态分布是一个重要的概率模型，它不仅描述了两个变量的联合分布情况，还反映了它们之间的相关性。理解其概率密度函数对于进一步研究多维数据具有重要意义。
