如何由余子式求代数余子式
【如何由余子式求代数余子式】在矩阵与行列式的计算中，余子式（minor）和代数余子式（cofactor）是两个密切相关但又有区别的概念。理解它们之间的关系对于掌握行列式的展开计算、逆矩阵的求解等具有重要意义。本文将通过总结的方式，结合表格形式，清晰地展示“如何由余子式求代数余子式”。
一、基本概念
1. 余子式（Minor）
对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $，其元素 $ a_{ij} $ 的余子式是指去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后所得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式，记作 $ M_{ij} $。
2. 代数余子式（Cofactor）
代数余子式是在余子式的基础上乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $，即：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
二、由余子式求代数余子式的方法
由上述定义可知，代数余子式可以通过余子式乘以对应的符号因子来获得。具体步骤如下：
1. 确定位置：找到目标元素 $ a_{ij} $ 所在的行 $ i $ 和列 $ j $。
2. 计算余子式：计算该元素对应的余子式 $ M_{ij} $。
3. 应用符号因子：根据 $ i + j $ 的奇偶性，判断符号为正或负：
- 若 $ i + j $ 为偶数，则符号为正；
- 若 $ i + j $ 为奇数，则符号为负。
4. 得到代数余子式：将余子式乘以相应的符号，得到代数余子式 $ C_{ij} $。
三、总结与对比
| 概念 | 定义 | 计算方式 | 是否包含符号因子 |
| 余子式 | 去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式 | $ M_{ij} = \det(A_{ij}) $ | 否 |
| 代数余子式 | 余子式乘以 $ (-1)^{i+j} $ 的结果 | $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ | 是 |
四、举例说明
假设我们有如下 3×3 矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
计算元素 $ a_{11} = 1 $ 的余子式和代数余子式：
- 余子式 $ M_{11} $：去掉第一行第一列，得到：
$$
M_{11} =
\begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9
\end{vmatrix}
= 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3
$$
- 代数余子式 $ C_{11} $：由于 $ i=1, j=1 $，$ i+j=2 $（偶数），符号为正：
$$
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot (-3) = 1 \cdot (-3) = -3
$$
五、注意事项
- 余子式只关注子矩阵的行列式值，不涉及符号；
- 代数余子式在行列式展开中起关键作用，用于计算行列式的按行或按列展开；
- 在实际应用中，如计算逆矩阵时，常需用到代数余子式。
六、结语
由余子式求代数余子式是一个简单但重要的过程，核心在于正确应用符号因子。理解两者的关系有助于更深入掌握矩阵运算的技巧，尤其在处理高阶行列式时更为实用。通过表格形式的对比，可以更直观地掌握这一过程，提升学习效率。
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