错位相减法例题10道及答案
导读 【错位相减法例题10道及答案】错位相减法是数列求和中常用的一种方法，尤其适用于等比数列与等差数列的乘积形式。其核心思想是通过将原数列与其错位后的数列相减，从而简化计算过程。以下为10道典型例题及其详细解答，帮助读者更好地理解和掌握该方法。
【错位相减法例题10道及答案】错位相减法是数列求和中常用的一种方法，尤其适用于等比数列与等差数列的乘积形式。其核心思想是通过将原数列与其错位后的数列相减，从而简化计算过程。以下为10道典型例题及其详细解答，帮助读者更好地理解和掌握该方法。
一、例题总结
| 序号 | 题目描述 | 解答步骤 | 答案 |
| 1 | 求和：$ S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1} $ | 设 $ S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1} $ 两边乘以3得 $ 3S = 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^n $ 两式相减得 $ -2S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n $ 利用等比数列求和公式解出 $ S $ | $ \frac{(n-1) \cdot 3^n + 1}{2} $ |
| 2 | 求和：$ S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1} $ | 设 $ S = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} $ 两边乘以 $ x $ 得 $ xS = x + 2x^2 + \cdots + nx^n $ 两式相减得 $ (1 - x)S = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} - nx^n $ 利用等比数列求和公式解出 $ S $ | $ \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2} $ |
| 3 | 已知 $ a_n = n \cdot 2^{n-1} $，求前5项和 | 计算各项并累加 $ a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 12, a_4 = 32, a_5 = 80 $ 总和为 $ 1 + 4 + 12 + 32 + 80 = 129 $ | 129 |
| 4 | 求和：$ S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1} $ | 类似第一题，设 $ S = 1 + 2 \cdot 2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1} $ 两边乘以2得 $ 2S = 2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^n $ 相减后化简得到结果 | $ (n - 1) \cdot 2^n + 1 $ |
| 5 | 已知 $ b_n = n \cdot 3^{n-1} $，求前3项和 | $ b_1 = 1, b_2 = 6, b_3 = 27 $ 总和为 $ 1 + 6 + 27 = 34 $ | 34 |
| 6 | 求和：$ S = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} $（与第2题相同） | 同上 | $ \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2} $ |
| 7 | 已知 $ c_n = n \cdot 4^{n-1} $，求前4项和 | $ c_1 = 1, c_2 = 8, c_3 = 48, c_4 = 256 $ 总和为 $ 1 + 8 + 48 + 256 = 313 $ | 313 |
| 8 | 求和：$ S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \cdots + n \cdot 5^{n-1} $ | 设 $ S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \cdots + n \cdot 5^{n-1} $ 两边乘以5得 $ 5S = 5 + 2 \cdot 5^2 + \cdots + n \cdot 5^n $ 相减后化简 | $ \frac{(n - 1) \cdot 5^n + 1}{4} $ |
| 9 | 已知 $ d_n = n \cdot 10^{n-1} $，求前2项和 | $ d_1 = 1, d_2 = 20 $ 总和为 $ 1 + 20 = 21 $ | 21 |
| 10 | 求和：$ S = 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1} $ | 设 $ S = 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1} $ 两边乘以4得 $ 4S = 4 + 2 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^n $ 相减后化简 | $ \frac{(n - 1) \cdot 4^n + 1}{3} $ |
二、总结
错位相减法在处理形如 $ S = \sum_{k=1}^n k \cdot r^{k-1} $ 的数列时非常有效。其关键在于构造一个与原数列“错位”的新数列，并通过相减消去中间项，最终得到一个易于求和的表达式。通过上述10道例题可以看出，这种方法不仅适用于具体数值，也适用于通项公式的推导。掌握这一方法，有助于提高数列求和的效率和准确性。
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