线性代数是数学中一个重要的分支，广泛应用于工程、计算机科学、物理学等多个领域。在大学本科阶段，线性代数课程通常作为一门基础课程，为学生后续的专业学习打下坚实的理论基础。本文将提供一份典型的线性代数期末试题及其详细解答，帮助同学们巩固所学知识。

一、选择题

1. 下列哪个矩阵是单位矩阵？

A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

答案：A

2. 设向量 $\mathbf{v} = (3, -2)$ 和 $\mathbf{w} = (-1, 4)$，则 $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ 等于：

A. $(2, 2)$

B. $(4, 2)$

C. $(-4, 6)$

D. $(-2, 6)$

答案：A

二、填空题

1. 若矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则其行列式 $|A| = \_\_\_\_\_$。

答案：-2

2. 向量 $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$ 和 $\mathbf{v} = (4, 5, 6)$ 的点积等于 $\_\_\_\_\_$。

答案：32

三、计算题

1. 求解以下线性方程组：

$$

\begin{cases}

x + y = 5 \\

2x - y = 1

\end{cases}

$$

解答：

将第一个方程乘以 2，得到：

$$

2x + 2y = 10

$$

再与第二个方程相减，得到：

$$

3y = 9 \implies y = 3

$$

将 $y = 3$ 代入第一个方程，得到：

$$

x + 3 = 5 \implies x = 2

$$

因此，解为 $(x, y) = (2, 3)$。

2. 已知矩阵 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求其逆矩阵 $B^{-1}$。

解答：

首先计算矩阵 $B$ 的行列式：

$$

|B| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2

$$

接着，计算伴随矩阵：

$$

\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}

$$

最后，逆矩阵为：

$$

B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot \text{adj}(B) = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}

$$

四、证明题

证明：若矩阵 $C$ 是对称矩阵，则其转置矩阵 $C^T$ 也是对称矩阵。

证明：

假设矩阵 $C$ 是对称矩阵，则有 $C = C^T$。对其转置，得到：

$$

(C^T)^T = C

$$

因此，$C^T$ 也是对称矩阵。

通过以上题目和解答，我们可以看到线性代数的核心概念和基本方法。希望这份期末试题能帮助大家更好地理解和掌握线性代数的知识点。