一、教学目标：
1. 知识与技能：
理解并掌握一元二次方程根与系数之间的关系（即韦达定理），能够灵活运用该关系解决相关问题。
2. 过程与方法：
通过探究、归纳、推理等方式，培养学生分析问题和解决问题的能力，提升数学思维的逻辑性与严谨性。
3. 情感态度与价值观：
激发学生对数学规律的兴趣，体会数学中的对称美与简洁美，增强学习数学的信心。
二、教学重点与难点：
- 重点： 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导与应用。
- 难点： 理解根与系数关系的数学本质，并能根据实际问题进行合理运用。
三、教学准备：
- 教师：多媒体课件、练习题、黑板、粉笔等。
- 学生：课本、练习本、笔等。
四、教学过程：
（一）导入新课（5分钟）
教师提问：
“我们已经学习了一元二次方程的求根公式，那么除了直接求根之外，是否还有其他方法可以研究方程的根呢？”
引导学生思考：
“如果我们知道一个一元二次方程的两个根，能否反过来求出它的系数？或者已知系数，能否判断根的性质？”
引出课题：
“今天我们就来探讨一元二次方程根与系数之间的关系。”
（二）探究新知（20分钟）
1. 回顾一元二次方程的一般形式：
形如：
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$
其根为：
$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
2. 推导根与系数的关系：
设方程的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则有：
- 根的和：
$$
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}
$$
- 根的积：
$$
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$
这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
3. 验证与理解：
教师引导学生用具体数值代入验证，例如：
- 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的根是 2 和 3，
则 $ x_1 + x_2 = 5 $，$ x_1 \cdot x_2 = 6 $，
而 $ -b/a = 5 $，$ c/a = 6 $，符合结论。
（三）例题讲解（15分钟）
例题1：
已知方程 $ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，求 $ x_1 + x_2 $ 和 $ x_1 \cdot x_2 $ 的值。
解：
由韦达定理可知：
$$
x_1 + x_2 = \frac{7}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}
$$
例题2：
若方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 1 和 -3，求 $ p $ 和 $ q $ 的值。
解：
由根与系数关系得：
$$
x_1 + x_2 = 1 + (-3) = -2 = -p \Rightarrow p = 2
$$
$$
x_1 \cdot x_2 = 1 \times (-3) = -3 = q \Rightarrow q = -3
$$
（四）课堂练习（10分钟）
布置练习题，让学生独立完成，教师巡视指导：
1. 已知方程 $ 3x^2 - 6x + 2 = 0 $，求两根之和与积。
2. 若方程 $ x^2 + mx + n = 0 $ 的两根为 4 和 -1，求 m 和 n 的值。
3. 不解方程，判断方程 $ x^2 - 4x + 5 = 0 $ 的两根是否为实数。
（五）小结与作业（5分钟）
小结：
今天我们学习了如何利用一元二次方程的根与系数之间的关系来分析和解决问题，掌握了韦达定理的基本内容及其应用方法。
作业：
1. 完成课本上相关习题；
2. 思考题：如果方程的两个根互为相反数，那么系数之间有什么关系？
五、板书设计：
```
一元二次方程根与系数的关系
一般形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
根与系数关系：
x₁ + x₂ = -b/a
x₁·x₂ = c/a
应用举例：
1. 已知方程，求根的和与积；
2. 已知根，求系数；
3. 判断根的性质。
```
六、教学反思：
本节课通过引导学生自主探究、合作交流，增强了他们对数学规律的理解能力。在今后的教学中，应进一步加强学生对公式的灵活运用，提升其综合应用能力。
