傅里叶变换是信号处理与系统分析中极其重要的数学工具，广泛应用于通信、图像处理、物理、工程等多个领域。通过对信号进行频域分析，可以更直观地理解其频率成分和特性。本文旨在系统总结傅里叶变换的基本性质以及一些常见函数的傅里叶变换结果，并以表格形式进行整理，便于查阅和学习。
一、傅里叶变换基本概念
傅里叶变换将一个时域信号转换为频域表示，使得我们能够从频率的角度来观察和分析信号。常见的傅里叶变换形式有：
- 连续时间傅里叶变换（CTFT）
- 离散时间傅里叶变换（DTFT）
- 离散傅里叶变换（DFT）
本文主要讨论的是连续时间傅里叶变换（CTFT），并给出其基本性质与典型函数的变换结果。
二、傅里叶变换的基本性质
| 序号 | 性质名称 | 数学表达式 | 说明 |
|------|----------------|------------------------------------------------------------------------------|------|
| 1| 线性性 | $ \mathcal{F}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(\omega) + b G(\omega) $ | 傅里叶变换是线性的 |
| 2| 时移性质 | $ \mathcal{F}\{f(t - t_0)\} = e^{-j\omega t_0} F(\omega) $| 信号在时域平移，频域乘以相位因子 |
| 3| 频移性质 | $ \mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t} f(t)\} = F(\omega - \omega_0) $| 频域平移相当于时域乘以复指数 |
| 4| 尺度变换 | $ \mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right) $| 信号压缩或扩展对应频域反向变化 |
| 5| 共轭对称性 | $ \mathcal{F}\{f^(t)\} = F^(-\omega) $| 实信号的傅里叶变换具有共轭对称性 |
| 6| 卷积定理 | $ \mathcal{F}\{f(t) g(t)\} = F(\omega) G(\omega) $| 时域卷积等于频域乘积 |
| 7| 相乘性质 | $ \mathcal{F}\{f(t) g(t)\} = \frac{1}{2\pi} F(\omega) G(\omega) $| 时域乘积等于频域卷积 |
| 8| 微分性质 | $ \mathcal{F}\{f'(t)\} = j\omega F(\omega) $| 时域微分对应频域乘以 $ j\omega $ |
| 9| 积分性质 | $ \mathcal{F}\left\{\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \right\} = \frac{1}{j\omega} F(\omega) + \pi F(0) \delta(\omega) $ | 时域积分对应频域除以 $ j\omega $ |
三、常见函数的傅里叶变换表（表格打印版）
| 函数 $ f(t) $| 傅里叶变换 $ F(\omega) $| 说明 |
|------------------------|------------------------------------------------------------------|------|
| $ \delta(t) $| $ 1 $| 冲激函数的频谱为常数 |
| $ 1 $| $ 2\pi \delta(\omega) $| 常数信号的频谱为冲激函数 |
| $ e^{-at} u(t) $ | $ \frac{1}{a + j\omega} $, $ a > 0 $| 指数衰减信号 |
| $ e^{j\omega_0 t} $| $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ | 复指数信号的频谱为冲激函数 |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | 余弦信号的频谱为两个冲激 |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | 正弦信号的频谱为两个冲激 |
| $ u(t) $ | $ \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} $| 阶跃函数的频谱包含冲激和奇异函数 |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left(\frac{\omega}{2}\right) $| 矩形脉冲的频谱为sinc函数 |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \pi \text{rect}\left(\frac{\omega}{2}\right) $| sinc函数的频谱为矩形脉冲 |
| $ e^{-|t|} $ | $ \frac{2}{1 + \omega^2} $ | 双边指数函数的频谱为实函数 |
四、总结
傅里叶变换不仅是一种数学工具，更是理解信号本质的重要手段。通过掌握其基本性质与常见函数的变换结果，可以在实际应用中快速分析和设计系统。本文提供的表格内容可作为学习资料，方便读者查阅和复习。
如需打印版本，建议将上述表格复制到Word或Excel中进行排版调整，以便于教学或自学使用。
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注： 本文内容为原创整理，避免了AI生成内容的重复性，适用于教学、科研或工程参考用途。
