在微积分的学习过程中，求解三角函数的高次幂的不定积分是一个常见的问题。其中，“sinx的4次方不定积分”就是一类典型的例子。虽然看起来简单，但要正确地进行积分运算，需要掌握一些基本的技巧和公式。
首先，我们来明确一下所求的积分形式：
$$
\int \sin^4 x \, dx
$$
直接对 $\sin^4 x$ 进行积分并不容易，因为它的次数较高，无法直接应用简单的积分法则。这时候，通常会采用“降幂”或“幂次转换”的方法，将高次幂的三角函数转化为低次幂的形式，从而更容易积分。
一、利用三角恒等式降幂
我们可以使用一个重要的三角恒等式来简化 $\sin^4 x$：
$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$$
因此，
$$
\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}
$$
接下来，再对 $\cos^2 2x$ 进行降幂处理：
$$
\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}
$$
代入上式得：
$$
\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{2 - 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{8} = \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8}
$$
二、逐项积分
现在我们将表达式拆开并分别积分：
$$
\int \sin^4 x \, dx = \int \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 - 4\cos 2x + \cos 4x) \, dx
$$
逐项积分：
- $\int 3 \, dx = 3x$
- $\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$
- $\int \cos 4x \, dx = \frac{1}{4} \sin 4x$
所以整体结果为：
$$
\int \sin^4 x \, dx = \frac{1}{8} \left( 3x - 2\sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C
$$
进一步整理：
$$
\int \sin^4 x \, dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C
$$
三、总结
通过运用三角恒等式，将 $\sin^4 x$ 转换为更易积分的形式，最终得到其不定积分的表达式为：
$$
\int \sin^4 x \, dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C
$$
这个过程不仅展示了如何处理高次幂的三角函数积分，也体现了数学中“化繁为简”的思想。对于类似的三角函数积分问题，也可以采用类似的方法进行处理。
