【解一元二次方程之十字相乘法专项练习题】在初中数学中，一元二次方程是重要的知识点之一，而“十字相乘法”则是求解某些特定形式的一元二次方程的常用方法。掌握这一技巧不仅有助于提高解题效率，还能加深对因式分解和多项式运算的理解。

本文将围绕“解一元二次方程之十字相乘法”进行专项练习题设计，帮助学生巩固相关知识，并提升实际应用能力。

一、什么是十字相乘法？

十字相乘法是一种用于分解形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的二次三项式的因式分解方法。其核心思想是通过寻找两个数，使得它们的乘积为 $ a \times c $，而它们的和为 $ b $，从而实现对原式的因式分解。

例如，对于方程 $ x^2 + 5x + 6 = 0 $，我们可以找到两个数 2 和 3，满足：

- $ 2 \times 3 = 6 $

- $ 2 + 3 = 5 $

因此，原式可分解为：

$ (x + 2)(x + 3) = 0 $

二、十字相乘法的基本步骤

1. 观察系数：确定二次项系数 $ a $、一次项系数 $ b $ 和常数项 $ c $。

2. 计算乘积：计算 $ a \times c $。

3. 寻找合适的因数组合：找到两个数，其乘积为 $ a \times c $，和为 $ b $。

4. 拆分中间项：将一次项 $ bx $ 拆分为这两个数的和。

5. 分组分解：使用分组法进行因式分解。

6. 解方程：将分解后的因式设为零，解出 $ x $ 的值。

三、专项练习题（附答案）

题目1：

解方程：$ x^2 + 7x + 12 = 0 $

解答：

找两个数，乘积为 12，和为 7 → 3 和 4

分解得：$ (x + 3)(x + 4) = 0 $

解得：$ x = -3 $ 或 $ x = -4 $

题目2：

解方程：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $

解答：

找两个数，乘积为 6，和为 -5 → -2 和 -3

分解得：$ (x - 2)(x - 3) = 0 $

解得：$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $

题目3：

解方程：$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

解答：

找两个数，乘积为 -8，和为 2 → 4 和 -2

分解得：$ (x + 4)(x - 2) = 0 $

解得：$ x = -4 $ 或 $ x = 2 $

题目4：

解方程：$ 2x^2 + 7x + 3 = 0 $

解答：

先计算 $ a \times c = 2 \times 3 = 6 $

找两个数，乘积为 6，和为 7 → 6 和 1

拆分中间项：

$ 2x^2 + 6x + x + 3 = 0 $

分组分解：

$ (2x^2 + 6x) + (x + 3) = 0 $

提取公因式：

$ 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 $

分解得：$ (2x + 1)(x + 3) = 0 $

解得：$ x = -\frac{1}{2} $ 或 $ x = -3 $

题目5：

解方程：$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $

解答：

$ a \times c = 3 \times (-2) = -6 $

找两个数，乘积为 -6，和为 -5 → -6 和 1

拆分中间项：

$ 3x^2 - 6x + x - 2 = 0 $

分组分解：

$ (3x^2 - 6x) + (x - 2) = 0 $

提取公因式：

$ 3x(x - 2) + 1(x - 2) = 0 $

分解得：$ (3x + 1)(x - 2) = 0 $

解得：$ x = -\frac{1}{3} $ 或 $ x = 2 $

四、总结

通过以上练习题可以看出，十字相乘法适用于二次项系数为 1 或非 1 的情况，关键在于正确识别合适的因数组合。掌握这一方法后，能够快速地将一元二次方程转化为两个一次方程，进而求出解。

建议同学们多做类似题目，熟练掌握技巧，提高解题速度与准确率。

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提示：若遇到无法用十字相乘法分解的方程，可以尝试使用配方法或求根公式（即判别式法）进行求解。