【一元二次方程经典例题集锦有答案】在初中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点，也是考试中的高频考点。掌握一元二次方程的解法和应用，不仅有助于提升数学成绩，还能为后续学习函数、不等式等内容打下坚实的基础。本文精选了几道具有代表性的经典例题，并附上详细解答过程，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、基础题型
例题1：
解方程：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
解：
我们可以使用因式分解法。
观察方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，寻找两个数，它们的乘积为6，和为-5。
这两个数是-2和-3。
因此，原方程可分解为：
$$
(x - 2)(x - 3) = 0
$$
解得：
$$
x_1 = 2,\quad x_2 = 3
$$
答案： $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
例题2：
解方程：$ 2x^2 + 4x - 6 = 0 $
解：
首先将方程两边同时除以2，简化为：
$$
x^2 + 2x - 3 = 0
$$
继续用因式分解法：
寻找两个数，乘积为-3，和为2。
这两个数是3和-1。
因此，分解为：
$$
(x + 3)(x - 1) = 0
$$
解得：
$$
x_1 = -3,\quad x_2 = 1
$$
答案： $ x = -3 $ 或 $ x = 1 $
二、配方法练习
例题3：
用配方法解方程：$ x^2 + 6x - 7 = 0 $
解：
将常数项移到右边：
$$
x^2 + 6x = 7
$$
左边配方：
$$
x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 \Rightarrow (x + 3)^2 = 16
$$
开平方：
$$
x + 3 = \pm 4
$$
解得：
$$
x = -3 + 4 = 1,\quad x = -3 - 4 = -7
$$
答案： $ x = 1 $ 或 $ x = -7 $
三、公式法应用
例题4：
用求根公式解方程：$ 3x^2 - 4x - 1 = 0 $
解：
根据求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中 $ a = 3 $, $ b = -4 $, $ c = -1 $
代入计算：
$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}
$$
化简：
$$
\sqrt{28} = 2\sqrt{7},\quad \text{所以 } x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}
$$
答案： $ x = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} $ 或 $ x = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} $
四、实际应用题
例题5：
一个矩形的长比宽多2米，面积为24平方米，求这个矩形的长和宽。
解：
设宽为 $ x $ 米，则长为 $ x + 2 $ 米。
根据面积公式：
$$
x(x + 2) = 24
$$
展开并整理：
$$
x^2 + 2x - 24 = 0
$$
因式分解：
$$
(x + 6)(x - 4) = 0
$$
解得：
$$
x = -6 \quad (\text{舍去}),\quad x = 4
$$
因此，宽为4米，长为6米。
答案： 宽为4米，长为6米
总结：
通过以上几道经典例题可以看出，一元二次方程的解法主要包括因式分解、配方法和求根公式三种方式。在实际问题中，往往需要先根据题意列出方程，再进行求解。掌握这些方法，不仅能提高解题效率，还能增强对数学逻辑的理解能力。
希望这篇例题集锦能帮助你在学习一元二次方程的过程中更加得心应手！
