【新北师大八年级数学下1.1等腰三角形知识点及典型习题】在初中数学的学习中，等腰三角形是一个重要的几何图形，也是后续学习等边三角形、三角形的全等与相似等内容的基础。本节内容主要围绕“等腰三角形”的定义、性质以及相关应用展开，帮助学生掌握这一基本图形的特点和解题方法。

一、等腰三角形的基本概念

等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。其中，相等的两条边称为腰，第三条边称为底边。两个相等的角称为底角，另一个角称为顶角。

- 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

- 符号表示：若△ABC中，AB = AC，则△ABC是等腰三角形，AB和AC为腰，BC为底边。

二、等腰三角形的性质

等腰三角形具有以下重要性质：

1. 等边对等角

在等腰三角形中，两个底角相等。即，如果AB = AC，则∠B = ∠C。

2. 三线合一

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线重合。也就是说，从顶点出发，作底边的高线，这条线同时也是底边的中线和顶角的角平分线。

3. 轴对称性

等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为底边上的高所在的直线。

三、等腰三角形的判定方法

要判断一个三角形是否为等腰三角形，可以通过以下几种方式：

1. 定义法：只要三角形中有两边相等，即可判定为等腰三角形。

2. 角的判定法：如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形（即“等角对等边”）。

四、典型例题解析

例题1：

已知等腰三角形的一个底角为50°，求顶角的度数。

解题思路：

由于等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也为50°。

根据三角形内角和为180°，可得顶角 = 180° - 50° - 50° = 80°。

答案：顶角为80°。

例题2：

如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC边上的中点，连接AD。

求证：AD ⊥ BC。

证明过程：

因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形。

又因为D是BC的中点，所以AD是底边BC上的中线。

根据等腰三角形的“三线合一”性质，AD同时也是底边上的高，因此AD ⊥ BC。

例题3：

已知等腰三角形的底边长为6cm，两腰长均为5cm，求这个三角形的高。

解题思路：

设高为h，由等腰三角形的三线合一性质可知，高将底边分为两个相等的部分，各为3cm。

利用勾股定理：

$$

h^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow h^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow h = 4

$$

答案：高为4cm。

五、常见误区与注意事项

1. 不要混淆等腰三角形与等边三角形：等边三角形是特殊的等腰三角形，但并非所有等腰三角形都是等边三角形。

2. 注意角的位置：在等腰三角形中，底角指的是底边对应的两个角，而顶角则是不相等的那个角。

3. 灵活运用“三线合一”：在实际问题中，常通过这条性质来构造辅助线或进行几何证明。

六、总结

等腰三角形是初中几何中的重点内容之一，掌握其性质和判定方法，有助于解决各类几何问题。通过多做练习题，理解其内在逻辑，能够有效提升学生的几何思维能力和解题技巧。

温馨提示：

建议同学们在学习过程中，结合图形进行分析，多画图、多思考，逐步提高自己的几何直观能力。