【高中数学集合练习题及问题详解】在高中数学的学习过程中，集合是一个基础而重要的知识点。它不仅是后续学习函数、数列、概率等内容的基础，也是培养逻辑思维和抽象能力的重要工具。本文将围绕高中数学中的集合相关练习题进行讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、集合的基本概念
集合是由一些确定的、不同的对象组成的整体。通常用大写字母如 A、B、C 等表示集合，集合中的元素用小写字母如 a、b、c 表示。
- 元素与集合的关系：若某个元素属于集合，则用符号“∈”表示；若不属于，则用“∉”表示。
- 集合的表示方法：
- 列举法：如 A = {1, 2, 3}
- 描述法：如 B = {x | x 是小于 5 的正整数}
二、集合的运算
集合之间可以进行多种运算，主要包括：
1. 并集（Union）
两个集合 A 和 B 的并集，记作 A ∪ B，是指所有属于 A 或 B 的元素组成的集合。
例题：设 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
2. 交集（Intersection）
两个集合 A 和 B 的交集，记作 A ∩ B，是指所有同时属于 A 和 B 的元素组成的集合。
例题：设 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A ∩ B = {3}
3. 补集（Complement）
全集 U 中的集合 A 的补集，记作 ∁ₐ，是指不属于 A 的所有元素组成的集合。
例题：设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2, 3}，则 ∁ₐ = {4, 5}
4. 差集（Difference）
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A \ B，是指属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合。
例题：设 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A \ B = {1, 2}
三、典型练习题解析
题目 1
已知集合 A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {x | x < 3}，求 A ∩ B。
解题过程：
首先解方程 x² - 5x + 6 = 0，
因式分解得：(x - 2)(x - 3) = 0，
所以 x = 2 或 x = 3，
即 A = {2, 3}。
又因为 B = {x | x < 3}，
所以 A ∩ B = {2}。
题目 2
设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 4, 5}，
求 (∁ₐ) ∪ B。
解题过程：
∁ₐ 表示 A 的补集，即 U 中不属于 A 的元素，
所以 ∁ₐ = {4, 5, 6}。
然后计算 (∁ₐ) ∪ B = {4, 5, 6} ∪ {2, 4, 5} = {2, 4, 5, 6}。
题目 3
已知集合 A = {x | 1 ≤ x ≤ 5}，B = {x | 3 < x ≤ 7}，
求 A ∩ B。
解题过程：
A 表示闭区间 [1, 5]，B 表示半开区间 (3, 7]，
两者的交集是 (3, 5]，即所有大于 3 且小于等于 5 的实数。
四、常见误区与注意事项
1. 区分“属于”与“包含”：
- “∈”表示元素与集合之间的关系，
- “⊆”表示集合与集合之间的关系。
2. 注意空集的性质：
空集是任何集合的子集，但不一定是元素。
3. 避免重复元素：
集合中不允许有重复元素，例如 {1, 1, 2} 实际上等同于 {1, 2}。
五、总结
集合作为高中数学的重要内容，不仅考查学生对基本概念的理解，还要求他们具备一定的逻辑推理能力和运算技巧。通过大量的练习题和详细的解析，可以帮助学生逐步掌握集合的相关知识，并提升解题能力。希望本文能为广大学生提供有益的帮助，在数学学习的道路上更进一步。
