【一元三次不等式怎么解】一元三次不等式是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d > 0 $ 或 $ ax^3 + bx^2 + cx + d < 0 $ 的不等式，其中 $ a \neq 0 $。解这类不等式的关键在于找到对应的方程的实数根，并根据函数图像的走势来判断不等式的解集。
以下是解一元三次不等式的步骤总结：
一、解一元三次不等式的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将不等式化为标准形式：$ ax^3 + bx^2 + cx + d > 0 $（或小于） |
| 2 | 解对应的一元三次方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $，找出所有实数根 |
| 3 | 根据实数根将数轴划分为若干区间 |
| 4 | 在每个区间内选取一个测试点，代入原不等式判断符号 |
| 5 | 根据符号确定不等式的解集 |
二、关键点说明
- 求根方法：
- 若三次方程有有理根，可用因式分解法或试根法。
- 若无法直接分解，可使用卡丹公式或数值方法（如牛顿迭代法）。
- 图像分析：
- 三次函数的图像是“S”型曲线，可能有一个或三个实数根。
- 根据根的分布和首项系数的正负，可以大致判断函数的增减趋势。
- 边界处理：
- 不等式中若包含等号（如 ≥ 或 ≤），则需将根点包含在解集中。
三、示例解析
例题：解不等式 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 > 0 $
步骤如下：
1. 分解方程 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $
- 试根发现 $ x=1 $ 是根，因此可提取因式：$ (x-1)(x^2 - 5x + 6) = 0 $
- 继续分解：$ (x-1)(x-2)(x-3) = 0 $
- 所以根为 $ x=1, x=2, x=3 $
2. 数轴划分区间：$ (-\infty, 1), (1, 2), (2, 3), (3, +\infty) $
3. 测试各区间符号：
| 区间 | 测试点 | 原式值 | 符号 |
| $ (-\infty, 1) $ | x=0 | -6 | 负 |
| $ (1, 2) $ | x=1.5 | 0.375 | 正 |
| $ (2, 3) $ | x=2.5 | -0.375 | 负 |
| $ (3, +\infty) $ | x=4 | 6 | 正 |
4. 根据符号得出解集：
$ x \in (1, 2) \cup (3, +\infty) $
四、注意事项
- 若三次方程无实数根，则函数始终在某一侧，可以直接判断不等式是否成立。
- 若有重根（如 $ (x-a)^2(x-b) $），需要特别注意该点的符号变化情况。
- 复杂情况下建议使用图形工具辅助分析。
通过以上步骤和方法，可以系统地解决一元三次不等式问题，提升解题效率与准确性。
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