【二阶常微分方程公式】在数学和物理中，二阶常微分方程（Second-Order Ordinary Differential Equations, ODEs）是描述许多自然现象的重要工具。它们广泛应用于力学、电路分析、热传导、波动理论等领域。二阶常微分方程的一般形式为：
$$
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
$$
其中，$ y $ 是未知函数，$ x $ 是自变量，$ p(x) $、$ q(x) $ 和 $ g(x) $ 是已知函数。根据是否含有非齐次项 $ g(x) $，二阶常微分方程可分为齐次方程和非齐次方程。
以下是对常见二阶常微分方程类型的总结与公式整理：
一、二阶常微分方程分类及基本公式
| 类型 | 方程形式 | 通解结构 | 特点 |
| 齐次线性方程 | $ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 $ | $ y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) $ | 两个线性无关的特解构成通解 |
| 非齐次线性方程 | $ y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) $ | $ y = y_h + y_p $ | $ y_h $ 为对应齐次方程的通解，$ y_p $ 为一个特解 |
| 常系数齐次方程 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 根据特征方程 $ ar^2 + br + c = 0 $ 的根决定 | 实根、复根、重根分别对应不同形式的通解 |
| 常系数非齐次方程 | $ ay'' + by' + cy = f(x) $ | 通解 = 齐次通解 + 特解 | 特解可通过待定系数法或常数变易法求得 |
二、常系数齐次方程的解法
对于方程：
$$
ay'' + by' + cy = 0
$$
其特征方程为：
$$
ar^2 + br + c = 0
$$
根据判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 的不同情况，解的形式如下：
| 判别式 D | 根的情况 | 通解形式 |
| $ D > 0 $ | 两个不等实根 $ r_1, r_2 $ | $ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $ |
| $ D = 0 $ | 重根 $ r $ | $ y = (C_1 + C_2 x)e^{rx} $ |
| $ D < 0 $ | 一对共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $ | $ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x) $ |
三、非齐次方程的特解求法
对于非齐次方程：
$$
ay'' + by' + cy = f(x)
$$
常见的特解方法包括：
- 待定系数法：适用于 $ f(x) $ 为多项式、指数函数、三角函数等形式。
- 常数变易法：适用于一般形式的 $ f(x) $，需要利用齐次方程的两个特解构造特解。
四、典型例子
1. 齐次方程
$ y'' - 5y' + 6y = 0 $
特征方程：$ r^2 - 5r + 6 = 0 $ → $ r = 2, 3 $
通解：$ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} $
2. 非齐次方程
$ y'' + 4y = \sin(2x) $
齐次通解：$ y_h = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $
特解：$ y_p = -\frac{x}{4} \cos(2x) $
通解：$ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) - \frac{x}{4} \cos(2x) $
总结
二阶常微分方程是研究动态系统的重要工具，掌握其类型、通解结构和求解方法对理解物理和工程问题具有重要意义。通过表格形式可以更清晰地掌握各类方程的解法和特点，有助于实际应用中的快速判断与计算。
