【复数的运算公式有哪些】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数在工程、物理和计算机科学中有着广泛的应用。为了更好地理解和使用复数，掌握其基本的运算公式是必要的。
以下是对复数常见运算公式的总结：
复数的基本运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部相加，虚部相加 | ||
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部相减，虚部相减 | ||
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开并合并同类项 | ||
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | 分母有理化，乘以共轭复数后化简 | ||
| 共轭复数 | $ \overline{a + bi} = a - bi $ | 实部不变，虚部取反 | ||
| 模（绝对值） | $ | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $ | 表示复数在复平面上的距离 |
| 极坐标表示 | $ a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ | 其中 $ r = | a + bi | $，$ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ |
| 乘法（极坐标） | $ r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] $ | 模相乘，角度相加 | ||
| 除法（极坐标） | $ \frac{r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] $ | 模相除，角度相减 | ||
| 幂运算（棣莫弗定理） | $ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)] $ | 用于计算复数的幂次 |
通过以上公式，可以对复数进行各种运算，包括加减乘除、共轭、模、极坐标转换等。这些公式不仅适用于理论分析，也常用于实际问题的建模与求解。掌握这些内容，有助于更深入地理解复数在现代科学中的应用价值。
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