【圆柱外接球半径公式】在几何学中，圆柱是一种常见的立体图形，而外接球则是指能够将整个圆柱完全包含在内的最小球体。对于一个给定的圆柱，其外接球的半径可以通过圆柱的高度和底面直径进行计算。以下是对该公式的总结与推导过程。
一、公式推导
设一个圆柱的高为 $ h $，底面圆的半径为 $ r $。要找到这个圆柱的外接球半径 $ R $，我们需要考虑圆柱的对称性。
外接球的中心位于圆柱的中点，即在圆柱高度的一半处，且与底面圆心在同一垂直线上。因此，外接球的半径是圆柱底面圆心到顶面圆心的距离的一半，加上底面圆心到顶面边缘的距离。
根据勾股定理，外接球的半径可以表示为：
$$
R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
$$
二、公式总结
| 参数 | 含义 | 公式表达 |
| $ R $ | 圆柱外接球的半径 | $ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} $ |
| $ r $ | 圆柱底面圆的半径 | - |
| $ h $ | 圆柱的高度 | - |
三、应用示例
假设有一个圆柱，底面半径为 3 cm，高度为 4 cm，那么它的外接球半径为：
$$
R = \sqrt{3^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.605 \, \text{cm}
$$
四、注意事项
- 此公式适用于直圆柱（即上下底面平行且中心轴垂直于底面）。
- 若圆柱为斜圆柱，则外接球的计算方式会有所不同，需考虑倾斜角度的影响。
- 外接球的体积和表面积也可根据此半径进一步计算。
通过上述分析可以看出，圆柱外接球半径的计算方法简洁明了，只需知道圆柱的高度和底面半径即可得出结果。这一公式在工程设计、数学建模等领域具有实际应用价值。
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