【求导公式大全】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对函数变化规律的理解。本文将对常用的求导公式进行系统总结，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ f(x) = \sin(3x) $，则 $ f'(x) = 3\cos(3x) $
- $ f(x) = (x^2 + 1)^5 $，则 $ f'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、四则运算的导数规则
设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 均可导，则有以下导数规则：
| 运算 | 导数公式 |
| 加法 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 除法 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
四、高阶导数
高阶导数是指对原函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
如：
$ f(x) = x^3 $，则
$ f'(x) = 3x^2 $，
$ f''(x) = 6x $，
$ f'''(x) = 6 $
五、隐函数与参数方程的导数
对于隐函数 $ F(x, y) = 0 $，可以通过两边对 $ x $ 求导，得到 $ \frac{dy}{dx} $。
对于参数方程：
$$
\begin{cases}
x = x(t) \\
y = y(t)
\end{cases}
$$
则导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad （\frac{dx}{dt} \neq 0）
$$
六、常用导数表汇总（简版）
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
结语
掌握这些求导公式，是学习微积分的重要基础。通过反复练习和实际应用，可以更熟练地运用导数解决各类数学问题。希望本文能为大家提供一个清晰、系统的导数知识参考，助力学习之路更加顺畅。
以上就是【求导公式大全】相关内容，希望对您有所帮助。
