线性规划是高中数学中一个重要的部分，它主要研究如何在一定的约束条件下，通过数学模型求解最优解的问题。线性规划的应用范围非常广泛，从经济管理到工程技术，再到日常生活的决策问题，都可以利用线性规划的方法来解决。本文将通过几个经典的例题，帮助大家更好地理解和掌握线性规划的基本思想和解题方法。

例题一：资源分配问题

某工厂生产A、B两种产品，生产每件A产品需要3个单位的原材料甲和2个单位的原材料乙；生产每件B产品需要2个单位的原材料甲和4个单位的原材料乙。现有原材料甲60个单位，原材料乙80个单位。问如何安排生产才能使总利润最大？假设生产一件A产品可获得利润5元，生产一件B产品可获得利润7元。

解析：

设生产A产品x件，B产品y件，则目标函数为：

Z = 5x + 7y

约束条件为：

3x + 2y ≤ 60 （原材料甲的限制）

2x + 4y ≤ 80 （原材料乙的限制）

x ≥ 0, y ≥ 0

通过画出可行域，并找到最优解点，可以得出当x=10，y=15时，Z取得最大值，即总利润为155元。

例题二：运输问题

某公司有三个仓库，分别位于A、B、C三地，库存量分别为50吨、70吨、80吨。现需将这些货物运往三个销售点D、E、F，需求量分别为60吨、70吨、70吨。已知各仓库到各销售点的单位运费如下表所示：

| | D | E | F |

|---|---|---|---|

| A | 5 | 8 | 6 |

| B | 9 | 7 | 4 |

| C | 6 | 5 | 7 |

问如何安排运输计划才能使总运费最低？

解析：

设从仓库A、B、C分别向销售点D、E、F运送货物的数量分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6吨，则目标函数为：

Z = 5x1 + 8x2 + 6x3 + 9x4 + 7x5 + 4x6

约束条件为：

x1 + x2 + x3 = 50 （仓库A的供应量）

x4 + x5 + x6 = 70 （仓库B的供应量）

x7 + x8 + x9 = 80 （仓库C的供应量）

x1 + x4 + x7 = 60 （销售点D的需求量）

x2 + x5 + x8 = 70 （销售点E的需求量）

x3 + x6 + x9 = 70 （销售点F的需求量）

x1, x2, ..., x9 ≥ 0

通过建立数学模型并求解，可以得到最优的运输方案，从而实现最低的总运费。

以上两个例题展示了线性规划在实际问题中的应用。通过明确目标函数和约束条件，我们可以有效地运用线性规划的方法来解决问题。希望这些经典例题能帮助大家加深对线性规划的理解，并提高解题能力。